[고1수학] 삼각함수의 성질

삼각함수를 다루는 데 꼭 필요한 공식 몇 가지를 알아보겠습니다.

 

▣ 삼각함수 사이의 관계

앞에서 동경 OP가 이루는 각을  q 라 할 때, 반지름 r인 원과 만나는 점 P(x, y)에 대한 삼각함수는

이다. 이 때, 

이다. 또한 

이 때, 중심이 원점이고 반지름이 r인 원의 방정식은 이므로

삼각함수 사이의 관계

                                        

 

지금까지 삼각함수를 좌표평면에 나타내기 위하여 반지름의 길이가 r인 원을 사용했는데, 이제부터는 주로 반지름의 길이가 1인 원을 사용할 것입니다. 삼각함수는 원 위의 점 P의 좌표에 대해 동경 OP가 이루는 각에 대한 것이므로 반지름의 길이는 상수가 되어 아무것이나 사용해도 됩니다. 따라서 가장 간편한 원 인 반지름의 길이가 1인 원(단위원)을 사용할 것입니다.

▣ 삼각함수 중요 공식

삼각함수에서 사용되는 중요 공식에 대해 알아보겠습니다.   

A. 2np +q 의 삼각함수 (n은 정수)

n이 정수일 때, 2np는 동경OP가 원점을 중심으로 n바퀴 회전하였다는 것을 나타내므로 각 2np +q의 동경은 각 q의 동경과 일치합니다. 따라서 다음과 같은 법칙이 성립합니다.

B. -q 의 삼각함수

각 q의 동경과 각 -q 의 동경은 서로 x축에 대한 대칭입니다. 따라서 각 q의 동경 OP에 대해  P(x, y)일 때, 각 -q의 동경 OQ에 대해  Q(x, -y)이 됩니다. 따라서 -q의 삼각함수에 대한 값의 변화는 다음과 같습니다.

C. p ±q 의 삼각함수

각 q의 동경과 각 p-q 의 동경은 서로 x축에 대한 대칭입니다. 따라서 각 q의 동경 OP에 대해  P(x, y)일 때, 각 p-q의 동경 OQ에 대해  Q(-x, y)이 됩니다. 또한 각 q의 동경과 각 p+q 의 동경은 서로 원점에 대한 대칭입니다. 따라서 각 q의 동경 OP에 대해   P(x, y)라 하면 각 p+q의 동경 OQ에 대해 Q(-x,- y)이 됩니다. 따라서 다음과 같은 법칙이 생깁니다.

                                            

                

D.  p/2 ±q 의 삼각함수

각 q의 동경과 각 p/2 - q 의 동경은 서로 직선   y=x 에 대한 대칭입니다.  따라서 각 q의 동경  OP 에 대해   P(x, y)일 때,  각 p/2 - q의 동경 OQ에 대해  Q(y, x)이 됩니다. 

한편 각 q의 동경 OP와 각 p/2 + q 의 동경 OQ는 그림과 같이 위치하므로 △OPM과 △OQM'은 서로 합동 입니다. 따라서 각 q의 동경 OP 에 대해  P(x, y)이면  각 p/2 + q의 동경 OQ에 대해 Q(-y, x)이 됩니다. 따라서 다음과 같은 법칙이 성립합니다.

위의 공식을 적용할 때, q는 예각이 아니더라도 상관없습니다. q가 둔각이더라도 예각처럼 취급해 위의 공식에 적용해야 합니다. 

위의 공식은 모든 각을 예각으로 바꾸어 삼각함수의 값을 구하는 방법에 관한 것입니다. 이 때, 각에 따른 부호를 먼저 결정하는 것이 실수를 줄일 수 있는 방법입니다.

  p±q와  p/2±q을 이용하여 문제를 많이 푸는데 보통은 p±q을 많이 이용합니다. 왜냐하면  p±q은 부호만 결정하면 되지만  p/2±q은 부호뿐만 아니라 삼각함수의 변화까지 생각해야 하므로 헷갈리기 쉽습니다.

예) 의 값을 구하여라.