[고1수학] 점과 좌표

점과 좌표

이번에는 좌표평면과 좌표평면 위의 점에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

▣ 좌표평면의 도입

좌표평면을 도입하기 위해서는 먼저 수직선에 대한 이야기를 해야 합니다. 왜냐하면 좌표평면을 이루는 서로 직교하는 두 직선인 x축과 y축은 수직선이기 때문입니다.

A. 수직선과 실수

수직선은 실수로 완전히 메워져 있습니다. 즉, 수직선 위의 모든 점과 실수사이에는 일대일 대응관계가 성립한다는 뜻으로 모든 점에는 각자 실수를 이름 붙일 수 있습니다.

위 그림에서 점 A에 디응하는 수는 2입니다. 이 때, 2를 수직선위의 점 A의 좌표라고 합니다.

B. 좌표평면과 실수

수직선 두 개를 서로 수직하게 붙인 좌표평면은 가로축(x축)의 실수와 세로축(y축)의 실수의 순서쌍으로 평면위에 있는 점들을 나타내는 방식을 취합니다. 즉, [그림]처럼 평면위의 점 A의 좌표를 정할 때, 그 점 A에서 x ,  y축에 내린 수선의 발에 대응하는 점이 각각 a, b라면 이 점 A 의 좌표를 (a, b)라고 약속합니다. 이렇게 하면 평면위에 있는 모든 점들은 실수의 순서쌍 (x, y)에 일대응대응 관계가 됩니다. 다시말해 좌표평면위의 모든 점들은 실수의 순서쌍으로 표시 할 수 있습니다. 

이렇듯 좌표평면은 실수의 순서쌍으로 완전히 메워질 수 있으므로 좌표평면을 다른 말로 실수평면이라고도 합니다. 

우리가 좌표평면을 자주 사용하는 이유는 그 동안 다루어 왔던 도형(점, 선, 다각형, 원 등)을 점들의 집합으로 보고 이 도형들을 좌표평면 위에 표시하게 되면 도형위의 모든 점들은 제각각 이름(좌표)를 갖게 됩니다. 이제 이 점들의 좌표를 연구하면 다각형의 성질을 알아낼 수 있게 된 것 입니다.

나중에 우리는 파푸스의 중선정리라는 삼각형의 성질을 다룰 것입니다. 이것을 통해 좌표평면을 도입하는 것의 편리함을 느껴보길 바랍니다.

보통 수학을 싫어하는 사람들은 좌표평면을 사용하는 함수나 도형의 방정식을 어려워 합니다. 수학을 좋아하는 사람 중에서도 함수를 싫어하는 경우도 종종 있습니다. 오랫동안 학생들을 가르치면서 나름대로 느낀 그 이유는 방정식이나 부등식을 푸는 것 처럼 무언가를 풀어야 한다는 생각이 강해 좌표평면에 그래프를 그리고 해석하는 부분을 소홀히 하는 것입니다. 좌표평면에 그래프를 그리는 방법을 익히고 그래프를 해석하는 것이 함수나 도형의 방정식을 다루는 주 목적입니다.

지금 우리가 다루는 좌표평면을 실수평면이라고  합니다. 그럼 허수를 표시하는 방법은 없을까요? 이런 궁금증이 들 것입니다. 이런 궁금증으로부터 탄생한 것이 복소평면입니다. 복소평면은 x축을 실수축, y축을 허수축으로 하여 복소수를 표현하는 방식입니다. 하지만 현재는 고교 교과과정에서 빠져 배우지 않으니 용어만 알아두길 바랍니다.

 

▣ 좌표평면위의 점 

A. 두 점사이의 거리

먼저 수직선 위의 두 점 사이의 거리에 대해 알아보겠습니다. 

수직선 위의 두 점 에 대하여 두 점 사이의 거리를 라 하고 다음과 같이 나타냅니다.

이므로 

이번에는 좌표평면 위의 두 점  에 대하여 두 점 사이의 거리  를 알아보겠습니다. 오른쪽 그림과 같이 점 A를 지나고 x축에 평행한 직선과 점 B를 지나고 y 과 평행한 직선이 만나는 점을 H라고 할 때, 이 되고 수직선 사이의 두 점사이의 거리를 이용하면

이고, 피타고라스의 정리에 의해 

특히, 원점 O와 점  사이의 거리는 

입니다.

수직선 위의 두 점  사이의 거리

좌표평면 위의 두 점  사이의 거리

B. 내분점

선분 AB위의 점 P에 대하여 

일 때, 점 P는 선분 AB를  m : n 으로 내분한다고 하고 점 P를 선분 AB의 내분점이라고 합니다.

이제 수직선 위의 두 점 에 대하여 선분 AB를 m : n (m>0, n>0)으로 내분하는 점

를 구해 보도록 하겠습니다.

일 때,  위의 비례식으로부터

이므로 식을 정리하면 점 P의 좌표는 

일 때도 결과는 동일합니다.

특히 m = n이면 점 P는 선분 AB를 1 : 1로 내분하므로 중점이 됩니다. 따라서 중점 P의 좌표는

이번에는 좌표평면위의 두 점 에 대해 선분 AB를 m : n(m>0, n>0)으로 내분하는 점

를 구해 보도록 하겠습니다.

그림에서 세 점 A, P, B에서 x 에 내린 수선의 발을 A', P', B'이라 하면 중학교때 배운 평행선의 성질에 의해

이 됩니다. 이 때, 점 P'은 선분 A'B'을 m : n으로 내분합니다. 따라서 위의 수직선 위의 내분점을 구하는 것과 동일한 방식으로구해보면

입니다.

위에서 적용한 평행선의 성질은 그림과 같이 평행한 세 직선 l, m, n에 대하여 

a : b = c : d

가 성립한다는 것입니다. 이것은 오른쪽 그림처럼 하나의 실선을 점선과 같이 평행이동해서 생기는 삼각형에서 삼각형의 닮음을 이용하여 구한 비례식입니다. 

마찬가지로 하면 점 P의 y좌표도 구할 수 있습니다. 

따라서 구하는 점 P의 좌표는

 

이고 특히 선분 AB의 중점의 좌표를 M이라고 하면

 [1] 수직선 위의 두 점 에 대하여 선분 AB를 m : n (m>0, n>0)으로 내분하는 점 P는

특히 선분  AB의 중점 M의 좌표는

[2] 좌표평면위의 두 점 에 대해 선분 AB를 m : n (m>0, n>0)으로 내분하는 점 P는

특히 선분 AB의 중점 M의 좌표는

C. 외분점

선분 AB의 연장선 위의 점 Q에 대하여 

일 때, 점 Q는 선분 AB를  m : n 으로 외분한다고 하고 점 P를 선분 AB의 외분점이라고 합니다.

수직선 위의 두 점 에 대하여 선분 AB를 m : n (m>0, n>0, m≠n)으로 외분하는 점

를 구해 보도록 하겠습니다.

일 때,  

i) m > n 이면 는

ii) m < n 이면 는

입니다. i) ii) 두 식을 정리하면 점 Q의 좌표는 

일 때도 결과는 동일합니다.

이번에는 좌표평면위의 두 점 에 대해 선분 AB를 m : n(m>0, n>0, m≠n)으로 외분하는 점 를 구해 보도록 하겠습니다.

그림에서 세 점 A, B, Q에서 x 에 내린 수선의 발을 A', P', B'이라 하면 

이 됩니다. 이 때, 점 Q'은 선분 A'B'을 m : n으로 외분합니다. 따라서 위의 수직선 위의 외분점을 구하는 것과 동일한 방식으로구해보면

입니다.

마찬가지로 하면 점 Q의 y좌표도 구할 수 있습니다. 

따라서 구하는 점 Q의 좌표는

 

[1] 수직선 위의 두 점 에 대하여 선분 AB를 m : n (m>0, n>0,  m≠n)으로 외분하는 점 Q는

[2] 좌표평면위의 두 점 에 대해 선분 AB를 m : n (m>0, n>0, )으로 외분하는 점 Q는

D. 삼각형의 무게중심

이제 내분점을 이용하여 삼각형의 무게중심을 구해보겠습니다.

중학교에서 배웠듯 삼각형의 무게중심이란 삼각형의 세 중선의 교점을 말하는데, 중선은 삼각형의 한 꼭지점에서 마주보는 변의 중점에 그은 선분을 말합니다.

이제 세 점 

을 꼭지점으로 하는 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표를 구해보겠습니다.

오른쪽 그림에서 삼각형의 한 변 BC의 중점을 M이라 하면

다시 그림에서 보면 무게중심 G(x, y)의 좌표는 선분 AM을 2 : 1 로 내분하는 점입니다. 따라서