[수학1] 여러가지 수열 - 계차수열과 그 밖의 수열

여러가지 수열

이번에는 등차수열, 등비수열 이외의 여러 특별한 수열에 대해 알아보겠습니다.

지금부터 다루는 수열들은 특별한 수열들 입니다. 하나하나 케이스별로 기억해 둔 후 응용을 할 수 있게 숙달해야 합니다. 그래야 보다 더 특별한 수열들로 확장해 나갈 수 있습니다.

먼저 다루는 계차수열은 나중에 다루는 수열들보다 일반적인 수열입니다. 

 

▣ 계차수열 

앞에서 우리는 두 항사이의 차 이 일정한 등차수열에 대해 알아보았습니다. 그런데, 두 항 사이의 차 이 일정하지 않고 어떤 형태의 수열을 이루는 경우를 생각할 수 있는데, 이 때, 이 두 항 사이의 차를 계차라 하고 두 항 사이의 차로 만든 수열을 계차수열이라고 합니다. 즉, 

이라 할 때, 수열은 수열 의 계차수열이라 하고 수열 을 계차수열 의 원수열이라고 한다.

이제 계차수열을 이용하여 원수열의 일반항을 구해보자.

으로 부터   이므로

     

    

    

이므로 구하는 원수열의 일반항은

수열 의 계차수열을 이라고 할 때, 이므로 

즉,  (원수열의 일반항) = (원수열의 첫째항) + (계차수열의 첫째항부터 n-1항 까지의 합)

수열의 일반항을 구하려고 할 때, 등차수열과 등비수열이 아니라면 계차수열을 구해본 후 만일 이 수열의 일반항과 합을 구할 수 있다면 원래의 수열의 일반항을 구할 수 있습니다.

 

▣ 분수수열 

일반항이 분수꼴인 수열의 합은 S의 성질을 이용할 수 없으므로 유형마다 특별한 방법으로 풀어야 합니다.

문제를 통해 푸는 방법을 알아보도록 하겠습니다.

A. 부분분수의 분해를 이용

를 이용하여 수열을 분해 한 후 대입하여 푸는 방법입니다.

예) 다음의 값을 구하여라.

이므로 k를 1부터 차례로 대입해 보면

B. 근호를 포함한 분수수열

근호를 포함한 분수수열은 분모의 유리화를 이용하여 분모에서 k를 없앤 후, 마찬가지로 k에 1부터 대입해 풉니다.

예) 다음의 값을 구하여라.

주어진 식의 k대신 1부터 차례로 대입해 보면

C. 일반항을 구해 대입해서 푸는 수열

는 합을 의미하므로 앞에서 배운 수열의 합과 일반항 사이의 관계를 이용하여 먼저 일반항을 구한 뒤 문제에 일반항을 대입하여 푸는 경우입니다.

예) 수열  에서  일 때, 다음의 값을 구하여라.

이므로 수열의 합과 일반항 사이의 관계에 의해 일반항을 구해보면 다음과 같습니다.

이므로  입니다. 따라서 주어진 문제에 대입하면

이므로 앞에서 배운 부분분수로 분해하는 방법에 의해 다음과 같이 됩니다.

위 예 중에서 가장 주의해야 할 것이 마지막 예입니다. 이 유형은 실제 문제를 풀 때 여러분들이 가장 많이 틀리는 문제입니다. 왜냐하면 주어진 단서와 문제가 비슷하게 둘 다 S를 포함하고 있기 때문에 주어진 단서를 변형하지 않고 문제에 바로 적용하해도 될 것 같은 착각을 일으키기 쉽기 때문입니다. 하지만 S의 성질을 정확하게 기억하고 있다면 바로 적용이 되지 않는다는 것을 알 수 있겠죠.

▣ 군수열

수열을 어떤 규칙에 의해 몇 개의 항으로 나누어 새로운 수열을 생각할 수 있는데 이것을 군수열이라고 합니다. 이 때, 몇 개의 항으로 나눈 부분을 항대신 군이라고 하고 순서에 따라 각각 제1군, 제2군, 제3군, … , 제 n군이라 합니다. 

군수열은 수열의 규칙속에 새로운 군의 규칙이 존재하기 때문에 군의 규칙을 구하고 그것으로부터 수열의 일반항을 구하는 방식을 취합니다.  

수열에서 일반항(제n항)을 구하는 것처럼 군수열에서는 제n군을 구해야 합니다. 그런데 n군은 여러 개의 항으로 이루어져 있으므로 n군 또한 하나의 수열이라고도 볼 수 있습니다. 그러므로 n군을 구성하기 위해 n군의 첫째항과 항 사이의 관계 및 항의 갯수를 구하는 것이 가장 중요한 일이 될 것 입니다.

군수열에 대한 이해를 돕는 문제를 풀어보겠습니다.

예) 군수열 

에 대하여 다음 물음에 답하여라.

(1) 2013은 제 몇 군의 몇 번째 항인지 구하여라.

수열  1, 3, 5, 7, 9, … 의 일반항은 2n-1이므로 

2n-1 = 2013에서  n=1007입니다. 즉 2013은 이 수열의 1007번째 항입니다.

이 때, 1007항이 k군의 m번째 항이라 하면 k군의 항의 갯수는 k개 이므로

따라서 1007항은 

이므로 2013은 제 45군의 17번째 항이다.

(2) n군의 첫째항을 구하여라.

n군의 첫째항을 이라 하면 이것은 각 군의 첫째항을 뽑아서 만든 수열의 n번째 항이 될것입니다. 즉, 

의 일반항을 구하면 됩니다. 

이 수열은 등차, 등비 수열이 아니므로 계차수열을 이용하여 일반항을 구하면 될 것 입니다. 이 수열의 계차수열  은  

이므로  입니다. 따라서 일반항을 구해보면

(3) 제 20군에 있는 모든 수들의 합을 구하여라.

제 20군은 첫째항이 이다. 따라서 제 20군은 첫째항이 381이고 공차가 2인 등차수열의 제 20항 까지의 합 입니다.

(4) 제 1군에서 제 20군까지의 총합을 구하여라.

제 n군은 첫째항이 이고 공차가 2, 항의 갯수가 n개인  등차수열이므로 제 n군에 있는 모든 수 들의 합은  

이다. 따라서 1군에서 20군까지의 총합은