[고1수학]부등식의 증명 - 절대부등식

부등식의 증명과 절대부등식

절대부등식이란 문자에 어떤 실수를 대입해도 항상 성립하는 부등식을 말합니다. 우리가 앞서 이야기한 여러가지 부등식들은 일부의 실수에 대해서만 부등식이 성립하므로 조건부등식이라고 합니다.

절대부등식과 조건부등식은 등식에서 항등식과 방정식을 생각하면 됩니다. 등식에서 방정식은 등식을 만족하는 x의 값이 몇 개 존재하지만 항등식의 경우는 어떤 x의 값을 대입해도 항상 성립합니다. 그러므로 방정식은 해를 구하는 것이 주 목적이라면, 항등식은 주어진 등식 자체를 구하는 것이 주 목적이 됩니다. 부등식의 경우도 마찬가지로 조건부등식은 해를 구하는 것이 주목적입니다. 하지만 절대부등식은 그 부등식을 이용하여 다른 부등식을 증명하는 것이 목적입니다.

 

▣ 부등식의 증명에 주로 사용되는 실수의 성질

부등식 A>B을 증명하기 위해서는 두 식 A, B를 빼보는 것이 중요합니다. 즉, 

어떤 경우에는 두 식을 빼지 않고 이미 알려진 부등식을 이용하여 증명하기도 하는데, 가장 기본이 되는 것이 아래에 나열한 실수의 성질입니다. 잘 기억해 두어 실제 증명에 적용하길 바랍니다.

또한 어떤 부등식을 증명할 때에는 미리 알고 있는 절대부등식을 이용하기도 합니다.

부등식의 증명에 이용되는 실수의 성질 

실수 a, b에 대하여

가장 기본적인 부등식의 증명방법은 두 식을 빼(A-B) 보는 것입니다. 하지만 빼는걸로는 증명이 되지 않는 경우에 몇 가지 다른 방법을 이용할 수 있습니다. 이 중 하나가 A≥0, B≥0인 경우에 제곱해서 빼보는 것입니다. 아래 삼각부등식의 증명에서는 이 방법을 사용하였습니다. 또한 A>0, B>0인 경우에 두 식을 나누어 1과 비교하는 경우도 있다는걸 알아두도록 하시다.

▣ 몇 가지 절대부등식

A. 산술평균과 기하평균, 조화평균 사이의 관계

a>0, b>0일 때, 두 수의 산술평균, 기하평균, 조화평균은 각각 다음과 같습니다.

이 때, 세 평균사이에는 항상 다음과 같은 부등식이 성립합니다.

증명) 

또한

B. 코시-슈바츠의 부등식

실수 a, b, x, y에 대하여 다음 부등식이 성립합니다.

증명)

C. 삼각부등식

실수 a, b에 대하여 다음 부등식이 성립합니다.

증명) 

         

▣ 부등식의 증명 문제풀이

문제1. 실수 a, b에 대하여 다음 부등식을 증명하여라. 또한 등호는 어떤 때 성립하는지 말하여라.

문제2. a>0, b>0일 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라.

문제3. a>0, b>0일 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라.

산술평균과 기하평균과의 관계를 이용하는 대표적인 문제입니다. 

이 때, 산술평균과 기하평균과의 관계로 부터

 

따라서 주어진 식은

이 성립합니다.