[수학1] 여러가지 수열 - 시그마의 성질

등차수열과 등비수열 이외의 여러가지 수열에 대해 알아보기 전에 수열의 합을 표시하는 기호인 시그마(S)의 뜻과 공식에 대해 알아보겠습니다.

 

▣ 시그마(S)의 뜻 

앞서 다룬 등차수열과 등비수열에서 n항까지의  합을 나타내는 데 을 사용했습니다. 의 의미는 첫째항부터 제 n항까지의 합을 의미하는 것입니다. 이것은 간편하게 한 문자로 합을 나타낼 수 있어 편리하기는 하지만 항상 첫째항부터 시작해야 하는 단점이 있습니다. 

이제 수열의 합을 표시하는 새로운 기호를 도입해 보도록 하겠습니다. 그리스문자 sigma의 대문자인 S에 몇 가지 기능을 첨가하여 새로운 합을 정의하도록 하겠습니다.

sigma기호를 보면 아래의 k는 이 식의 유일한 변수로 아래 k=1은 k가 1에서 시작한다는 의미입니다. 그리고  S기호는 k를 하나씩 증가시키면서 더하라는 의미입니다. S의 위에 있는 n은 k를 하나씩 증가 시켰을 때 제일 마지막 값이며, S기호의 오른쪽에 있는  는 더해나가는 대상입니다.

문자 k는 변수이므로 혼동할 염려가 없는 다른 문자를 사용해도 됩니다. 즉, k대신 i나 j를 사용해도 됩니다. 

 

▣ ∑의 기본 성질 

   

   

     

     

     

     

 c가 상수일 때, 

                                                                

는 로 생각하면 위의 공식을 이해할 수 있습니다.

굉장히 주의해야 하는 사실들

이것들은 내용을 알고 있으면서도 실제 문제를 접하면 헷갈리는 것들입니다. 

왜냐하면 문제에서 이런 유형들을 보면 하나같이 (좌변)과 (우변)이 같은것 처럼 보이고, 올바른 풀이는 너무 복잡해 보여 착각을 일으키게 하기 때문입니다.

▣ 자연수의 거듭제곱의 합 

이제 S를 사용하는데 있어 아주 많이 쓰이는 공식인 자연수의 거듭제곱의 합에 대해 알아보겠습니다.

먼저 는 등차수열의 합이므로

이제 를 알아보기 위해 항등식

 

에 을 차례로 대입해 보겠습니다.

이 식을 변변이 더하면

 따라서

    

   

     

이제   의 값을 구하는 것은 여러분들을 위한 숙제로 남기고 공식만 보고 지나가겠습니다. 식을 적절히 정리하는 데 도움이 되는 공식 유도이므로 꼭 한번 해보길 바랍니다.

Hint)

위에서 처럼 이 공식을 유도하기 위해서는 항등식 

과 공식을 이용하여 위에서 사용한 방법을 그대로 사용하면 됩니다.

그 결과는 다음과 같습니다.

자연수의 거듭제곱의 합