[수학1]수열의 귀납적 정의와 점화식

수열의 귀납적 정의와 점화식에 대해 알아보겠습니다.

 

▣ 수열의 귀납적 정의 

수열을 정의하는데 가장 일반적인 도구는 그 수열의 일반항입니다. 일반항을 알면 그 수열의 모든 항을 알 수 있기 때문입니다. 이번에는 일반항 이외에 수열을 정의하는 방법에 대하여 알아보겠습니다. 

수열을 몇 항 나열해 보면 그 다음항이 무엇인지 짐작할 수 있습니다. 하지만 이것은 짐작일 뿐 정확하지는 않습니다.  즉, 1, 2, 3 이렇게 나열되어진 수열이라면 대부분의 사람들은 다음 항이 4일거라 짐작할 것입니다. 하지만 4가 아닐 수 도 있습니다. 만일 수열의 일반항이 이라면 네번째 항은 28이 됩니다. 이렇듯 수들을 직접 나열하는 것은 보기에는 좋으나 정확하지 않습니다. 

그럼 일반항을 표시하는 것 말고 수열을 정확하게 표시하는 방법은 없을까요? 다음과 같이 하면 됩니다.

「첫번째항은 1이고 다음항은 1을 더해서 만들면 된다.」

위의 표현을 나열해보면 

첫째 항은 1, 두 번째 항은 1+1=2, 세 번째 항은 2+1=3, 네번째항은 3+1=4, … 

이 되어 아주 정확한 수열의 표현이 됩니다. 이렇게 첫째항과 두 항사이의 관계(다음항은 1을 더해 만든다)를 펴현한 것을 수열의 귀납적 정의라고 합니다.

수열의 귀납적 정의

i) 첫째항                                                            ii) 두 항 사이의 관계

이 때, 두 항 사이의 관계를 특별히 점화식이라고 합니다. 

예) 수열 2, 4, 6, 8, 10, … 을 귀납적 정의로 표현하면 이다.

 

▣ 점화식의 대표유형 

점화식을 주었을 때, 일반항을 구하는 문제는 아주 중요합니다. 무수히 많은 수열이 존재하듯이 무수히 많은 점화식이 존재하는데, 점화식을 전부 일반항으로 고칠 수 있는 것이 아닙니다. 여기서는 일반항을 비교적 쉽게 구할 수 있는 점화식 유형 몇 개를 다룰 것 입니다.

A. 기본적인 점화식

우리가 이미 앞에서 배운 등차수열과 등비수열도 점화식의 표현이 가능합니다. 

등차수열을 나타내는 점화식

                

등비수열을 나타내는 점화식

                 

B. 점화식의 유형 몇 가지

1. 

이 유형은 앞에서 다루었던 계차수열을 이용해 일반항을 구하는 방법과 동일합니다. 앞서 다루었던 공식을 이용해도 되지만 점화식을 다루는 방법을 익히는데 가장 좋은 유형이므로 반드시 기억해 두어야 할 것입니다.

윗 식의 n대신에 1, 2, 3, …, n-1을 차례로 대입하면

이 식을 변변이 더하면

 

 

 

2. 

이 유형은 위에서 다룬 것과 비슷하므로 이것을 참고하면 쉽게 이해할 수 있을 것 입니다.

위와 마찬가지로 윗 식의 n대신에 1, 2, 3, …, n-1을 차례로 대입하면

이 식을 변변이 곱하면

 

 

3. 

이 점화식은 우리가 배우는 수학에서 가장 많이 나오는 유형으로 정말로 중요하니 정확하게 기억해 두길 바랍니다. 이 점화식을 자세히 보면 p, q의 값에 따라 등차수열이 되기도 하고 등비수열이 되기도 합니다. 특히 q=0이면 등비수열이 되고, 이것을 착안해서 점화식을 풉니다. 물론 q를 0으로 만들 수 도 있지만 이 방법은 좀 더 복잡한 과정을 거쳐야 하고 대신에 q를 쪼개는 방식을 통해 등비수열로 만듭니다.

q를 적당히 쪼개       의 형태를 만든다고 가정하고 이 식을 전개하여 점화식과 비교하면 를 구할 수 있습니다. 즉, 

이므로 입니다. 

물론 이 식을 외울 필요는 없습니다. 이 유형의 문제마다 이런방식을 통해 a를 구해 나가는 것이 좋습니다. 어쨋든

에서 수열 은 첫째항이 이고 공비가 p인 등비수열 이므로

입니다. 따라서 구하는 일반항은

위 점화식을 구하는 방법 중 q를 0으로 만드는 방법은 위 점화식과 의 차로 부터 q를 소거하여 등비수열을 만든 후 이것에 의해 생긴 계차수열을 이용하여 일반항을 구합니다. 앞서 말했듯이 조금 더 복잡한 과정을 거치게 되므로 하는 방법은 생략하도록 하겠습니다. 

4. 

이 점화식은 p+q+r=0을 이용하여 가운데 항을 쪼갠 후 묶어 두 개의 항으로 만들어 일반항을 구하는 방식입니다.

이므로 이것을 주어진 점화식에 대입하면

이라 하면

따라서 수열  은 첫째항이  이고 공비가  인 등비수열이므로 일반항을 구하면

그런데 수열 은  의 계차수열이므로 구하는 수열  의 일반항은 다음과 같습니다.