[고1수학]삼각함수의 정의

중학교때 배운 삼각비는 직각삼각형에서 직각 이외의 다른 한 각이 주어지면 세 변의 길이의 비를 알 수 있다는 것에서 착안되어 만들어 진 것이라면,  삼각함수는 삼각비의 개념을 앞서 배운 일반각으로 확장한 것입니다. 따라서 삼각비의 개념을 삼각함수에 그대로 적용시키면 어려움이 따를 수 있으니 삼각함수의 정의에서 부터 차근차근 학습해 나가길 권장합니다.

앞서 일반각에서 나온 동경 OP  좌표평면의 원점을 중심으로 회전하면서 원을 그리게 됩니다. 따라서 삼각함수는 원과 관련이 있고 원 위의 점  P의 좌표가 삼각함수의 값을 결정하게 됩니다.

 

▣ 삼각함수의 정의 

오른쪽 그림은 원점을 중심으로 회전하는 동경 OP에 대해 점P(x, y)가 어느 위치에 있을 때 x축의 양의 방향과 이루는 각 q 를 표시 한 것입니다. 이 때, q 에 대한 삼각함수는 다음과 같이 정의합니다.

이처럼 정의된 함수를 각각 사인함수, 코사인함수, 탄젠트함수라고 하고 이를 통틀어 삼각함수라고 합니다.

위에서도 언급했지만 삼각비와 삼각함수는 접근방법이 다릅니다. 따라서 중학교때 배운 직각삼각형에서의 삼각비를 가지고 위의 sin, cos, tan의 값을 구하려고 하지 말고 위의 정의처럼 점 P의 좌표를 가지고 값을 구하려는 자세를 가져야 합니다.

예)   일 때, 의 값을 구하여라.

의 동경을 오른쪽 그림과 같이 반지름이 1인 원에 표시했습니다. 

이 때, 점 P의 좌표는 입니다. 따라서 구하는 값은

 

▣ 삼각함수의 부호

앞에서 다룬 삼각함수의 정의를 이용하여 좌표평면 위의 각 사분면에서 삼각함수의 부호를 알아보도록 하겠습니다.

정의로 부터 삼각함수는 각각

로 표현되는 것을 알았습니다.

삼각함수는 동경 OP의 점 P(x, y)의 좌표에 의해 정해지므로 각 사분면에서 부호를 생각해보면

제 1사분면 : x>0, y>0                제 2사분면 : x<0, y>0

제 3사분면 : x<0, y<0                제 4사분면 : x>0, y<0

이므로 제 1사분면에서는 세 가지모두 양수이고, 제 2사분면에서는 sin, 제 3사분면에서는 tan,제 4사분면에서는 cos이 양수가 됩니다.

각 사분면에서 삼각함수의 부호

	제 1사분면	제 2사분면	제 3사분면	제 4사분면
x, y의 부호	x>0, y>0	x<0, y>0	x<0, y<0	x>0, y<0

   [사분면 별 양의 값을 갖는 삼각함수]