[고1수학] 이차부등식의 이해 - 이차부등식의 해법

이차부등식의 해를 구하는 방법

앞에서 배운 이차방정식을 이용하여 이차부등식을 푸는 방법에 대해 알아보도록 하겠습니자.

 

▣ 이차부등식이란

에 대하여 

를 x에 대한 이차부등식이라고 합니다.

이차부등식을 푼다는 것은 이차부등식을 만족하는 x의 값의 범위를 구하는 것을 말합니다.

이차부등식을 푸는 방법은 이차방정식을 이용한 방법과 이차함수를 이용한 방법이 있는데, 여기서는 이차방정식을 이용하여 푸는것을 다룰 것 입니다.

 

 

▣ 이차방정식을 이용한 이차부등식의 풀이

이차방정식 의 실근을 라 하면 이차부등식 은  로 고칠 수 있으므로 이차방정식의 실근 를 경계로 하여 수직선위에 표현하거나 이차식을 인수분해 하여 구해진 인수의 부호를 조사하면 이차부등식을 풀 수 있습니다. 

하지만 이차방정식이 허근을 갖는 경우나 실근을 갖더라도 중근을 갖는경우는 다르게 접근해야 합니다. 따라서 이차방정식의 판별식을 먼저 따진 후 거기에 맞게 이차부등식을 푸는 것이 좋을 것 입니다.

이차방정식 의 판별식을 라고 할 때, 판별식에 따라 다음 세가지 경우로 나누어 이차부등식을 풉니다.

A. D>0

이 방정식은 서로 다른 두 실근을 갖으므로 이 두 실근을 라고 하면 이 이차방정식은

로 인수분해 됩니다. 이것을 사용하여 부호를 조사해 보도록 하겠습니다자.

[의 부호를 표시한 그림]

D>0인 경우의 이차부등식의 해

이차방정식 의 서로 다른 두 실근을 라고 할 때

이 때, 최고차항의 계수 a가 음수이면 양변에 -1을 곱하여 양수로 만든 후 풀면 될 것입니다.

B. D=0

이 방정식은 중근을 가지므로 그 중근을 라 하면 이 이차방정식은

입니다. 이 때, 이므로  입니다. 

즉, 이고 입니다. 

D=0인 경우의 이차부등식의 해

이차방정식 의 중근을 라고 할 때

C. D<0

이 방정식은 실근을 갖지 않으므로 이 이차방정식은 앞에서와 다른 방법으로 풀어야 합니다.

이 때  a>0, D<0 이므로 이고 따라서 모든실수  x에 대해 

입니다.

D<0인 경우의 이차부등식의 해

이차방정식 이 실근을 갖지 않으므로 모든 실수  x에 대해 

이다. 

이차부등식에서도 이차방정식에서 쓰였던 판별식이 사용되었습니다. 하지만 내용에 약간 차이가 있는데, 바로 D<0인 경우입니다. D<0이면 이차방정식은 서로 다른 두 허근을 갖는다고 하는데 이차부등식에서는 실근이 없다고 해석을 합니다. 그 이유는 앞에서도 이야기 했듯이 대소관계를 비교하는 부등식은 실수범위에서만 생각하기 때문이입니다. 허수의 경우는 크기가 없어 부등식에서는 다룰 수가 없으므로 항상 주의해야 합니다. 또한 이유가 다르긴 하지만 우리가 배우는 한 좌표평면을 다루는 곳(도형의 방정식, 함수)에서도 전부 실수범위에서만 다룬다는 것을 알아야 합니다. 

지금까지 이차부등식의 해를 구하는 방법에 대해 다루었는데, 조금 복잡하다고 느꼈을 수 있습니다. 하지만 앞에서 이야기 했듯이 함수를 이용한 해법이 존재하는데 이 방법을 이용하면 이차부등식을 훨씬 쉽게 이해할 수 있습니다. 이 방법은 나중에 함수에 관해 포스팅할 때 다시 다루기로 하겠습니다.

 

▣ 연립이차부등식의 풀이

연립부등식에서 주어진 부등식 중 차수가 높은 것이 이차부등식일 때, 이 연립부등식을 연립이차부등식이라고 합니다. 

연립이차부등식도 일반 연립부등식과 마찬가지로 주어진 부등식에서 구한 해들의 공통부분을 구하면 됩니다.