[고1수학] 삼각함수 - 각의 정의와 호도법

어린시절부터 지금까지 같은 각을 찾는다거나 각도기를 사용하여 직접 각을 재기도 하였지만 구체적으로 각이 무엇인지 정의내리지 않고 막연하게 사용해 왔습니다. 이제 각에 대해 정의를 하도록하겠습니다.

 

▣ 각의 정의 

A. 각의 정의

두 개의 반직선 OX와 OP에 대하여 점 O를 중심으로 반직선 OX에서 출발하여 반직선 OP까지 회전한 양을 라고 합니다. 이 때, 고정된 반직선 OX를 시초선, 회전한 반직선 OP를 동경이라 합니다.

B. 양의 각과 음의 각

동경 OP가 시계 바늘이 도는 방향과 반대로 회전하였을 때, 이를 양의 방향으로 회전한 각(양의 각)이라고 하고 시계바늘이 도는 방향과 같은 방향으로 회전하였을 때 이를 음의 뱡향으로 회전한 각(음의 각)이라고 합니다. 음의 각일 때에는 (-)부호를 붙여서 음수로 나타냅니다.

                         

C. 일반각

동경 OP의 위치가 정해져 있더라도 의 크기는 하나로 정해지지 않습니다. 앞서 양의 각과 음의 각처럼 방향이 다르게 정해져 그럴 수도 있고 또는 회전수에 따라 여러가지 형태의 크기가 존재할 수 있기 때문입니다. 즉, 아래 그림에서 처럼 양의 방향으로 한 바퀴 회전하면 실제 크기 인 각의 크기는 이고 양의 방향으로 두 바퀴 회전하면 이 됩니다. 음의 방향으로 회전도 마찬가지 입니다.

일반적으로 의 크기중 하나를 라고 할 때, 동경 OP가 나타낸는 각은

로 나타낼 수 있습니다. 이를 동경 OP의 일반각이라고 합니다. 

D. 사분면의 각

각을 좌표평면에 나타내고자 할 때는 보통 시초선 OX를 x축의 양의 방향으로 잡습니다.

이 때 동경 OP가 제 1사분면, 제 2사분면, 제 3사분면, 제 4사분면에 있는 경우를 각각 제 1사분면의 각, 제 2사분면의 각, 제 3사분면의 각, 제 4사분면의 각이라고 합니다.

 

▣ 호도법에 대한 이해 

A. 호도법의 정의

반지름의 길이가 일정한 부채꼴에서 호의 길이와 중심각의 크기는 정비례하므로 이를 이용하면 각의 크기를 지금까지와 다른 방법으로 표현 할 수 있습니다. 

예를 들어 반지름이 1인 원을 기준으로 호와 중심각을 짝지어 보면 아래와 같습니다. 

중심각
호의 길이

이 때, 대신 을 사용해도 혼동의 염려만 없다면 를 사용해도 무방할 것입니다.

이렇듯 호의 길이를 각도로 사용하는 방법을 호도법이라고 합니다. 그리고 기존에 사용하던 도(degree)를 사용하여 각도를 나타내는 방법을 육십분법이라고 합니다.

이제 호도법을 제대로 정의해 보도록 하겠습니다자.

호도법의 정의

반지름의 길이가 r인 원에서 호의 길이도 r인 부채꼴의 중심각을 1라디안(radian)으로 정의한다.

이제 1라디안이 몇 도인지 구해봅시다자.

그림처럼 반지름의 길이가 r인 원에서 같은 길이의 호 AB의 중심각 의 크기를 라고 하면 이 가 바로 1라디안이다.

따라서 

호도법과 육십분법 사이의 관계

                    

B. 부채꼴의 호의 길이와 넓이

호도법을 이용하면 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 쉽게 구할 수 있습니다.

반지름의 길이가 r이고 중심각의 크기가  인 부채꼴 OAB에서 호의 길이를  l 이라 하고 넓이를  S 라 하면

이므로 윗 식에 대입하면

반지름의 길이가  r 이고 중심각의 크기가  인 부채꼴 OAB에서 호의 길이를  l 이라 하고 넓이를  S 라 할 때

호도법을 사용하는 이유와 라디안을 생략하는 이유

지금까지 호도법을 사용하면서 '귀찮고 복잡한걸 왜 배워야 하나?'라는 의문을 가졌을 것입니다. 그냥 육십분법만 가지고도 각도를 표현하는데 불편함이 없는데 난데없이 새로운 각에 대해 정의하니 이런 생각을 하는 것도 무리는 아닐 것입니다.

우리가 호도법을 배워야 하는 정확한 이유는 사실 위의 호의 길이와 넓이를 구하는 데서 약간의 힌트를 얻을 수 있는데, 기존의 육십분법은 수체계상 우리가 쓰는 십진법의 수가 아닙니다. 이름에서도 알 수 있듯이 기존의 각도는 시간을 표시하는 것과 같은 육십진법을 사용하고 있습니다. 그러니 우리가 쓰는 십진법 수들과 연산의 호환이 되질 않아 여러가지 불편함이 따르므로 십진법을 따르는 각도가 필요하게 되었습니다. (이진법 수와 오진법 수를 계산시 이진법을 오진법으로 고치거나 반대로 하거나 아니면 둘 다 십진법으로 고쳐 계산하는 것을 생각하면 됩니다.)

호도법에서 사용되는 수는 십진수들과 p 역시 십진수 이므로 호도법은 십진법체계를 따르는 각도인 것입니다. 

또한 이런 이유때문에 일부러 라디안을 표시하지 않더라도 상관이 없습니다. 즉, p라고 쓰여 있다면 이것은 상황에 따라 원주율을 표시할 수도 있고 각을 표시할 수도 있는 것입니다.