[고1수학] 부등식의 기초와 일차부등식의 해법

 

▣ 실수의 기본성질 

A. 실수의 기본성질

1) 실수 는 다음 세 가지 경우 중 어느 하나만 성립한다.

B. 실수의 대소관계에 대한 정의

                            

C. 실수의 대소관계에 대한 성질

                                     

            

D. 절댓값의 성질

수직선 위에서 실수 와 원점사이의 거리를 의 절댓값이라 하고 기호로  로 나타낸다.

                                        

                                                

 

▣ 부등식의 성질 

위에서 다룬 것은 실수에 관한 성질들이었는데, 이 성질들이 미지수가 포함된 부등식에서도 성립한다.

A. 부등식의 성질

허수는 크기가 없는 수이므로 대소관계를 나타낼 수 없다. 따라서 부등식에 포함되어 있는 모든 문자는 따로 표시하지 않았으면 실수라고 생각해야 한다.

위 부등식의 성질을 이용할 때 특히 주의해야 할 것은 4)번 성질로 「부등식의 양변에 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 바뀐다는 것이다.」

B. 절댓값과 부등식

는 수직선 위의 원점과  x를 나타내는 점 사이의 거리를 의미하므로 이것을 부등식에 그대로 적용한다.

양수 k에 대하여

                                      

문제1. 부등식  를 풀어라.

주어진 부등식은 이므로 

구하는 해는 i), ii)를 동시에 만족시키는 부분이므로 

문제2. 부등식  를 풀어라.

주어진 부등식을 풀면 이므로

구하는 해는  i), ii)를 합친 부분이므로 

일반적인 절댓값을 포함한 부등식은 절댓값의 정의에 의해 범위를 나누어 푼다.

문제3. 부등식  을 풀어라.

주어진 부등식의 절댓값을 0으로 하는 값이 x=-1, 3 이므로 실수 전체의 집합을 세 부분으로 나눌 수 있다.

 그런데, 전체집합이 x<-1이므로 구하는 해는 

마찬가지로 전체집합이 -1≤x<3이므로 구하는 해는

마찬가지로 전체집합이 x≥3이므로 구하는 해는 없다.

i), ii), iii)에 의해 

 

▣ 일차부등식의 일반적인 해법 

이 부등식을 풀기 위해서는 x의 계수 a의범위를 a>0, a=0, a<0의 세 부분으로 나누어 풀어야 한다.

①  위에서 i)은 양변을 양수 a로 나누었으므로 부등호 방향이 바뀌지 않고 ii)는 양변을 음수 a로 나누었으므로          부등호 방향이 바뀐다.

② iii)은 0으로 나눌 수 없으므로 해석을 해야 한다. 

    즉, b≥0이면 0· x>(양수 또는 0) 이므로 만족하는 x의 값은 존재하지 않는다. 

   또한 b＜0이면 0· x>(음수) 이므로 모든 x에 대해 부등식이 성립한다.