[수학1] 등비수열의 합 응용 - 적립총액을 구하는 방법과 응용

적립총액과 할부, 연금의 현재가치에 관한 문제

등비수열의 합을 이용하여 풀 때 중 종종 나오는 형태가 적립총액에 관련된 문제이다.

매월 일정한 금액을 은행에 예금하는 것을 적금이라고 하는데 일정기간이 지난 후 내 통장에 들어있는 원금과 이자의 총합을 적립총액이라고 한다. 예를 들어 매월 적립하여 5년 후 만기가 된다면 5년 후에 내가 찾을 수 있는 금액의 총합이 적립총액이 되는 것이다.

적립총액을 이야기 하기전에 먼저 이자를 주는 방법인 복리법과 단리법에 대해 알아보자.

 

▣ 단리법과 복리법

우리가 은행에 예금을 하거나 대출을 받을 때, 항상 기간에 따른 이자가 발생한다. 이자를 주는 방법에는 보통 단리법과 복리법이라는 방법이 존재한다. 

a원을 어느 은행에 예금하는데 이 예금상품은 매월 이자가 r만큼의 비율로 붙는다면 n개월 후의 원리합계(원금과 이자의 합계)를 계산해 보자.

A. 단리법

개월	0	1	2	…	n
이자		ar	ar	…	ar
원리합계	a	a+ar	a+2ar	…	a+nar

단리법은 매월 이자가 항상 ar로 고정되어 n개월 후의 원리합계는 a(1+nr)이다.

B. 복리법

개월	0	1	2	…	n
이자		ar	a(1+r)r	…
원리합계	a	a+ar		…

단리법은 비교적 간단하지만 복리법은 조금 복잡하니 좀더 자세히 알아보자

1개월 후 

원금 a원과 이자 ar원의 합 a+ar=a(1+r)

2개월 후 

전 달 원리합계 a(1+r)원과 이자 a(1+r)r원의 합 

n개월 후 

전 달 원리합계 

원금 a원, 이율 r인 예금의 n개월 후의 원리합계는

단리법 : a(1+nr)                            복리법 : 

 

▣ 적립총액

이번에는 매월 a원씩, 이율 r로 n개월 적립하는 경우에 대해서 알아보자. 

이 때 주의해야 할 것이 기수불과 기말불인 경우 약간 달라진 다는 것이다. 기수불이란 매월 초에 불입해서 n개월 말에 찾는 경우를 말하고 기말불이란 매월 말에 불입하여 n개월 말에 찾는 것을 말한다. 이 둘 사이에는 실제로 1개월의 기간 차이가 난다.

A. 기수불 적립

1월초	2월초	3월초	4월초	…	n월초	n월말
a	a(1+r)			…
	a	a(1+r)		…
		a	a(1+r)	…
			a	…
					a	a(1+r)

이것은 첫째항이 a(1+r)이고 공비가 (1+r) 인 등비수열의 n항까지의 합이다. 따라서 구하는 적립총액  S는

B. 기말불 적립

1월말	2월말	3월말	4월말	…	n월말
a	a(1+r)			…
	a	a(1+r)		…
		a	a(1+r)	…
			a	…
					a

이것은 첫째항이 a이고 공비가 (1+r) 인 등비수열의 n항까지의 합이다. 따라서 구하는 적립총액  S는

위에서 구한 적립총액의 공식은 암기할 필요가 전혀없다. 공식을 이용하는 문제는 거의 나오지 않기 때문이다. 등비수열의 합을 이용하는 응용원리를 깨우치기 위해 나온것이므로 공식으로 암기하지 말고 구하는 방법을 스스로 해 보면서 그 원리를 깨우치면 된다.

▣ 할부금의 계산 

적립총액문제를 이용하여 푸는 형태 중 할부금을 계산하는 문제가 있다. 적립총액을 구하는 것과 유사하지만 약간 틀린부분이 있으니 알아보자.

가격이 A원인 물건을 이율 r, n개월 할부로 살 때, 매월 내야 하는 금액을 구해보자.

이 때, 주의해야 하는 것이 물건값은 A원이지만 실제로 내가 내야 하는 총금액은 A원에 n개월 동안 내야 하는 이자를 더한 금액이다. 또한 매월 지불해야 하는 금액도 이 아니다.

매월 내야 하는 금액을 x원이라고 하고 위 적립총액을 구하는 방법을 사용하여 계산해 보자. 

이 때 알아야 할 것이 할부 계산방식은 매월 할부금을 판매상에게 주는것이 아니라 중간에 은행이 끼어 있어서 내가 물건을 산 시점에 은행이 판매상에게 물건값 A원을 주고 나는 매월 할부금을 적금식으로 부어 마지막 달에 한꺼번에 갚는 방식을 취한다는 것이다.

	1개월 후	2개월 후	3개월 후	4개월 후	…	n개월 후
물건값	A(1+r)
적립총액	x	x(1+r)			…
		x	x(1+r)		…
			x	x(1+r)	…
				x	…
						x

첫째항이 x이고 공비가 (1+r) 인 등비수열의 n항까지의 합과 n개월 후의 물건값이 같으므로

▣ 연금의 현재가치 

이번에는 연금의 현재가치를 구하는 문제에 대해 알아보자.

연금은 주어진 기간동안 계속해서 같은 금액이 나오는 금융상품인데, 어떤 경우에는 현재 한꺼번에 받기도 한다. 이 때, 받을 수 있는 금액은 낵 총 받아야 할 금액의 총합이 아니다. 이 금액은 총합보다는 더 작을 것이다. 이 금액을 구해보자.

다음 달부터 매월 a원씩 n개월간 받을 수 있는 금액을 이번 달에 한꺼번에 받으려고 한다고 하자. 이 때, 이율은 r이다.

현재	1개월 후	2개월 후	3개월 후	4개월 후	…	n개월 후
	a
		a			…
			a		…
				a	…
					…	a

위 그림에서 색칠한 부분은 첫째항이 이고 공비가 인 등비수열의 항까지의 합과 같다. 

따라서 구하는 연금의 현재가치 S는