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스스로 수학/고등 수학

[수학1] 등차수열과 등비수열의 합

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등차수열의 합과 등비수열의 합





 

▣ 등차수열의 합 

첫째항이 이고 공차가 등차수열의 첫째항부터 까지의 합을 이라고 하고 끝항인  

이라 하자. 

의 우변을 거꾸로 써 놓으면

이 때,   은  이므로  이다. 따라서 윗 식은 다음과 같이 변형된다.



 

▣ 등비수열의 합 

첫째항이  이고 공비가  인 등비수열의 첫째항부터 제n항까지의 합을  이라 하자.

의 양변에  을  곱하면

 _

     

      

따라서 

그런데  이면 이항이 불가능하므로 윗 식 에 을 대입하면

이다.



수열의 합과 일반항 사이의 관계 

수열의 합 과 수열의 일반항 사이의 관계의알아보자.

이고 

이므로

그런데 n은 자연수이므로  로 부터 n-1역시 자연수여야 한다. 즉, 이다.

이 말은 윗 식 에서는  을 구할 수 없다는 뜻이다. 그러면  을 구하기 위해서는 어떻게 해야 할까?

식에서 은 첫째항부터 제n항까지의 합을 의미하므로  이다. 



수열의 합과 일반항 사이의 관계는 수열의 합이 주어져 있을 때, 수열의 일반항을 구하는 방법이다. 이는 모든 수열에 적용되는 유일한 방법이므로 굉장히 중요하다. 즉, 수열의 일반항으로부터 수열의 합을 구하는 방법은 수열의 형태에 따라 달라지지만 수열의 합으로부터 수열의 일반항을 구하는 방법은 이것이 유일한 방법이다.



수열의 합과 일반항 사이의 관계로부터 구한 일반항은 두번째항 부터 적용되는 일반항이라는 사실을 기억하자. 첫번째항은 수열의 합  에 n대신 1을 대입한  을 사용한다.


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