[고1수학]연립방정식의 이해(2) - 연립이차방정식

 

▣ 미지수가 2개인 연립이차방정식

미지수가 2개인 연립이차방정식은 두 방정식 중 차수가 높은 것이 이차방정식일 때를 말한다. 연립이차방정식은  

의 두가지 형태가 존재한다.

(일차식)과 (이차식) 형태의 연립이차방정식은 (일차식)을 한 문자에 관해 정리한 후 (이차식)에 대입하여 미지수가 1개인 이차방정식으로 바꾼 후, 이차방정식을 푼다.

 

▣ (이차식)과 (이차식)형태의 해법 

(이차식)과 (이차식) 형태의 연립이차방정식은 적절한 방법을 통해 (일차식)과 (이차식) 형태로 바꾸어 푼다.

(이차식)을 (일차식)으로 바꾸는 방법에는 대개 세 가지 방법이 존재한다. 

A. 인수분해형

 두 (이차식) 중 하나의 상수항이 0이고 인수분해가 되면, 이 (이차식)을 인수분해하여 두 개의 (일차식)으로 쪼갠 후, 각각의 (일차식)을 나머지 (이차식)에 대입하여 푼다.

B. 상수항 소거형

두 (이차식) 모두 상수항이 0이 아니라면 두 (이차식)을 적당히 더하거나 빼서 상수항을 0으로 만든 후, 이 (이차식)을 인수분해 하여 A처럼 푼다.

C. 이차항 소거형

두 (이차식)을 적당히 더하거나 빼서 이차항을 없앨 수 있으면, 이차항을 소거하여 (일차식)을 만든 후, 두 식 중 아무 식에나 대입하여 푼다.

문제1 다음 연립방정식을 풀어라.

(일차식)  을 한 문자에 관해 정리하면 이다.

이 식을 (이차식)에 대입하면 이다.

이 식을 정리하면 이므로 

이 값을 (일차식)에 대입하면 

문제2. 다음 연립방정식을 풀어라.

이차식 인수분해하면 

이므로 두 개의 일차식 으로 나뉜다. 

이것을 아래의 이차식 에 대입하면

문제3. 다음 연립방정식을 풀어라.

 

이 식을 인수분해하면 

이차연립방정식 중 특히 합의 값과 곱의 값이 주어지는 경우 이차방정식을 만든 후, 그 근을 구하여 푼다.

문제4. 다음 연립방정식을 풀어라.

이 연립방정식을 풀기 위해 두 근의 합이 -3이고 두 근의 합이 -4인 이차방정식을 세워보자.

이 때, 이 이차방정식은 를 두 근으로 하는 이차방정식이므로 이 이차방정식의 근을 구하면 이것이 구하는 연립방정식의 해가 되는 것이다. 따라서 구하는 해는