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스스로 수학/고등 수학

[고1수학] 좌표평면을 이용한 도형의 성질 증명 - 파푸스의 중선정리

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지금부터 증명해볼 것은 파푸스의 중선정리라는 것입니다. 이 정리는 원래 고대 그리스시대의 수학자인 아폴로니우스의 이름을 따서 아폴로니우스의 정리라고 하는데 우리나라와 일본에서만 파푸스의 정리라고 불려지고 있다고 합니다. (위키백과 참조)  

이 증명은 좌표평면을 도입하지 않으면 조금 복잡합니다. 이 증명을 통해 좌표평면을 사용하는 것의 편리함을 느껴보길 바랍니다.


 

파푸스의 중선정리 

오른쪽 그림과 같이 삼각형 ABC에 대하여 선분 BC의 중점을 M이라고 하면 다음과 같은 관계식이 성립합니다. 이것을 파푸스의 중선정리 또는 중선정리라고 합니다.





이제 증명을 해 보겠습니다. 위의 그림에서 꼭지점 A에서 선분 BC에 내린 수선의 발을 H라고 하면 피타고라스의 정리에 의해

한 후 을 대입하여 정리하면

이 때, 이므로




 

▣ 중선정리의 좌표평면에 의한 증명

지금부터 좌표평면을 도입하여 증명을 해 보겠습니다. 좌표평면을 사용하면 도형을 다루는 것이 얼마나 편리한 지 느껴보시길 바랍니다.

좌표평면을 도입했을 때의 편리한 점 중 하나는 도형의 위치를 자유롭게 놓을 수 있다는 것입니다. 도형을 가장 효율적인 위치에 도형을 위치시켜 보다 간단한 증명을 하려고 하는 것이 관건입니다.


오른쪽 그림은 중선정리를 증명하기 위해 삼각형을 좌표평면 위에 가져다 놓은 것 입니다. 이 그림으로부터


이므로 

따라서 중선정리가 성립합니다.




좌표평면 위에 평면도형을 도입할 때는 어떠한 위치에 가져다 놓아도 상관 없습니다. 그 말은 도형을 가져다 놓기에 따라 문제 해결이 복잡해질 수도 있고 간단해 질 수도 있다는 말입니다. 위의 예처럼 꼭지점을 적절하게 배치하려고 노력하는 것이 필요한 이유입니다.




많은 학생들이 파푸스의 중선정리가 중요하다고 생각하여 중선정리 자체를 암기하는 경우가 있는데, 제 생각은 좀 다릅니다. 이 중선정리는 좌표평면을 사용하여 평면도형을 다루면 훨씬 편리하다는 걸 보여주는 하나의 예일 뿐 입니다. 중선정리를 공식처럼 암기하지 말고 다른 평면도형의 증명 문제를 좌표평면에 도입해 그 느낌을 익히는 것이 필요할 것 입니다.






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