[고1과정] 고차방정식의 이해(1)

차수가 삼차 이상인 방정식을 고차방정식이라고 하며 고차방정을 푸는 방법은 일반적으로 인수분해를 이용한다.

 

이차방정식의 근의공식처럼 고차방정식의 일반해를 구하는 방법을 구하려고 많은 수학자들이 노력한 결과 카르다노의 해법이라고 알려진 삼차방정식의 일반해와 페라리의 해법이라고 알려진 사차방정식의 해법이 존재한 다는 것을 알아냈다. 하지만 그 방법이 너무 복잡하므로 지금 단계에서는 배우지 않는다. 또한, 5차 이상의 방정식은 일반해 자체도 존재하지 않음이 밝혀졌다.

고차방정식의 해법은 인수분해를 이용하여 풀기 때문에 고1과정의 인수분해단원에 관해 철저한 학습이 필요하다. 우리는 아직 인수분해 단원에 대해 다루지 않았으므로 인수분해에 대한 이야기를 간단히 해 보자.

 

▣ 이차식의 인수분해 

이차식의 인수분해는 중학교 때부터 해왔던 X자형태의 인수분해를 이용하면(완전제곱으로 인수분해 되는 경우 조차도 가능하다.) 유리수 범위의 인수분해는 모두 가능하고, 실수범위나 복소수범위로 확장했을 때에는 바로 앞에서 배운 이차방정식의 근을 이용하여 구하면 된다.

  예를들면

 

 

▣ 고차식의 인수분해 

고차식의 인수분해는 공식이 존재하는 것이 몇 개 되지 않는다. 따라서 특별한 방법이 존재하는 몇 가지의 경우를 제외하고 대부분은 인수정리를 이용하여 필요한 인수를 구한 후 조립제법을 이용하여 나머지 인수를 구하는 방식을 사용한다.

1. 공식을 이용한 인수분해

 

2. 복이차식의 인수분해

 

치환은 문제해결에서 아주 유용한 도구이다. 식에서 공통부분이 존재할 때, 그 것을 하나의 문자로 바꾸면 식이 보다 간단해 보이는 효과가 있다. 다만 치환을 한다는 것은 변수가 되는 문자가 바뀌는 것 이므로 반드시 문자가 가지는 범위를 따지는 습관을 들여야 한다.

수 대신 쓰는 문자가 수로써 의미를 갖기 위해서는 반드시 범위를 가져야 한다. 따라서 문자를 사용할 때에는 그 문자의 범위를 따지는 버릇을 가져야 한다

 

3. 적당히 묶거나 정리를 통해 인수분해

4. 나눗셈을 이용한 인수분해