동물과 달리 사람은 생각할 수 있고 그 생각을 확장할 수 있는 상상력을 가지고 있다. 고대의 원시인들이 처음에는 동물과 비슷한 지능이었지만 시간이 흐르면서 생각을 확장해 나가 점차 지능을 높여갔을 것이다.
수의 생성에 대해서도 우리는 이와 비슷한 상상을 해 볼 수 있을 것이다.
수렵이나 채집을 하던 초창기 원시인들이 자기가 가진 것들을 다른 이와 비교하기 시작하면서 처음 '같다(=)'는 개념이 등장했을 것이다. 이어 '크다' '작다'는 개념도 서로가 가진것을 비교하면서 자연스럽게 생겼을 것이다. 즉, 내가 가진 열매와 내 친구가 가진 열매를 비교해 보니 갯수가 같다거나 내가 좀 더 많다거나 이런 식으로 느꼈을 것이다.
[그림1] '같다'와 '크다' '작다'
이렇듯 서로를 비교 하면서 '같다.'' 크다.' '작다.' 는 개념이 생겼고 시간이 지나면서 얼마나 더 크냐, 얼마나 더 작냐는 구체적인 비교로 발전하였을 것이다. 친구 A와 B는 내가 가진 열매보다 더 많은데, A는 B보다 더 많다면 나와 A, 나와 B사이에 무언가의 차이(누가 얼마만큼 더 많은가)를 인식했을 것이다. 그러면 이 차이를 표현하기 위한 방법을 생각해 내었을 것이고 그 차이를 표현할 수 있는 어떤 도구를 생각하게 되는 것은 자연스러운 상상력의 흐름일 것이다. 아마도 이것이 자연수 탄생의 시작점이 되었을 것으로 우리는 충분히 짐작할 수 있다.
[그림2] 내 사과의 갯수를 A와 B의 사과의 갯수와 비교
수렵과 채집생활을 하던 원시인들에게는 ‘같다’ ‘크다’ ‘작다’ 정도의 개념만으로도 충분하였으나 인류가 한 곳에 정착하기 시작하면서 개인이 가진 것이 늘어났고 기존의 단순한 표현으로는 할 수 없는 큰 수가 필요하게 되었고 그 것들을 표현할 도구가 새롭게 등장할 수 밖에 없었을 것이다.
하지만 수라는 것이 처음부터 존재하지는 않았을 것이고, 어떤 이는 동물의 뼈같은 곳에 선을 그어서 개수를 표시하였을 것이고 어떤 이는 줄에 매듭을 하여 개수를 나타냈을 것이다. 처음에는 각자의 방식으로 표시를 하다가 점차 모두가 알아볼 수 있는 방법으로 체계가 통일이 되어 갔을 것이다. 이런 과정을 거치면서 결국 수가 탄생하였을 것이다. 물론 이 수들은 지금 우리가 사용하고 있는 수 와는 표기법뿐 아니라 수체계도 엄청나게 달랐을 것이다.
또한 사회가 커지면서 다루어야 하는 수의 크기가 점차 커지게 되었고, 세어야 할 것의 개수가 늘어나면서 이런 방식은 한계에 부딪히고 말았을 것이다. 언제까지 선을 긋거나 매듭을 할 수 는 없었을 테니...
이 때, 생각할 수 있는 방법이 - 예를들면 매듭이 5개가 되었을 때, 모양이 다른 더 큰 매듭을 하나 긋고 나머지 매듭을 풀어 버리면 그 하나는 5개를 나타내게 된 것이고, 작은 매듭은 5개 이하를 표시할 때에만 필요하게 됨을 알게 되어 훨씬 큰 수를 표시하기에 편리함을 알게 되었을 것이다. 이로써 그들은 더욱 큰 수를 표시하게 될 수 있을 것이다.
자 그럼 아래 그림에 있는 36마리의 고양이를 어떻게 세야하는지 생각해 보자.
[그림3] 36마리의 고양이
원시인들은 가장 먼저 고양이 한 마리에 조약돌 하나를 대응시켰을 것이다.([그림4]의 (1))
하지만 이것은 정말로 비효율적임을 깨닫게 되었을 것이고 그 다음 생각한 것이 일정한 갯수가 되었을 때, 이것을 보다 큰 돌멩이 하나로 표시하면 편리함을 깨달았을 것이다.([그림4]의 (2))
[그림4] 세는 방법의 변화
그러다가 보다 편리한 방법은 그 큰 돌멩이조차도 아까의 일정하 갯수가 되었을 때, 보다 큰 돌멩이 하나로 표시한다면 더욱 편리하다는 것을 깨닫게 되었을 것이다. ([그림4]의 (3))
이것이 실제로 우리가 쓰는 기수법의 실제 모델이다.
실제로 고대 문명을 보면 각자 다른 수의 표기법과 수체계를 가지고 있었고, 이것을 바탕으로 나름대로의 수학을 발전시켜나갔다. 고대 이집트 문명에서는 10개의 수를 사용하여 수를 나타내는 10진법을 사용하였고 메소포타미아문명에서는 60진법을 사용하였다.
[그림4] 고대 이집트의 기수법
고대 이집트의 기수법은 현재 우리가 사용하는 십진법을 사용했지만 현재 우리가 쓰는 체계와는 상당한 차이가 있다. 지금 우리가 쓰는 기수법은 0부터 9까지의 10개의 수 만을 가지고 거의 모든 수를 표현할 수 있지만 고대 이집트의 십진법은 큰 수를 표현하기 위해서는 새로운 수를 계속 등장시켜야만 하였다. 그 이유는 무엇일까?
여러가지 이유가 있겠지만 가장 결정적인 이유는 0의 존재이다. 아무것도 없다는 의미를 가진 0의 존재는 아이러니하게도 존재 자체가 인류의 발전에 엄청난 영향을 끼치게 된 것이다.
다음 글에서는 0에 대한 이야기와 기수법의 생성과 표현에 대해 좀 더 자세하게 알아보자.
조삼모사 朝三暮四
송나라에 원숭이를 좋아하여 키우는 저공이란 인물이 있었습니다. 그런데 원숭이의 수가 늘어남에 따라 원숭이 먹이인 도토리를 구하는 일도 쉽지 않았지요. 이에 저공은 원숭이들을 모아 놓고 이렇게 말했습니다. “이제부터는 도토리를 아침에 세 개, 저녁에 네 개씩 주겠다.” 그러자 원숭이들이 모두 반발하고 나섰습니다. 그러자 저공은 할 수 없다는 듯이 “그럼 아침에 네 개, 저녁에 세 개를 주겠다.” 라고 하였습니다. 이에 원숭이들은 좋아하며 고개를 끄덕였다고 하는군요.
[네이버 지식백과]
조삼모사의 예에서 보면 동물 중에서 지능이 가장 높은 편에 속하는 원숭이도 ‘크다’, ‘작다’, ‘같다’의 개념은 어느 정도 있지만 그 이상의 것(덧셈이나 덧셈에 대한 교환법칙)에 대해서는 알지 못하는 정도의 지능이다. 그렇다면 원시인의 경우라면 어땠을까? 이들도 처음에는 원숭이들처럼 아침에 3개의 열매를 따고 오후에 4개의 열매를 딴것 과 오전에 4개, 오후에 3개를 딴 것이 다른 줄 알았겠으나, 모아놓고 보니 결국은 같다는 것을 알게 되었을 것이다. 여기서 그들은 덧셈에 대한 원리도 깨우쳤을 것이다.
생각해 보기우리 일상생활에서 흔히 사용하고 있는 기수법에는 무엇이 있을까?
위의 조삼모사의 예에서 앞의 경우(조삼모사)와 뒤의 경우(조사모삼)의 차이가 정말 없는 것일까?